Аксиома VIII позволяет ввести операцию деления на множестве действительных чисел: под — понимается произведение а • - (где Ь Ф 0).

   Аксиомы порядка. Для любых а, Ь, с справедливы следующие свойства:

X. а < а — ложное высказывание. XI. Если а * Ь, то или а < Ь, или Ъ < а. XII. Если а > Ъ и Ъ > с, то а > с (транзитивность).

XIII. Если а > 0 и Ъ > 0, то аЬ > 0.

XIV.  Если а > Ь, то а + с > Ь + с.

XV. Если а > 0 и Ь > 0, то существует такое натуральное число п, что па > Ъ (аксиома Архимеда).

Перечисленные 15 аксиом выполняются и в множестве <? рациональных чисел. Основное отличие множеств <? и К друг от друга состоит

в том, что в множестве (? есть «дыры» (например, «дыра» для числа \/2,

«дыра» для числа я; иными словами, промежуток от рационального числа а до рационального числа Ь (а < Ъ) не заполнен сплошь рациональными числами), тогда как множество К таких «дыр» не имеет, оно сплошное, или, как говорят, непрерывное. Эта непрерывность множества Е выражается в виде специальной аксиомы. Прежде чем сформулировать эту аксиому непрерывности, введем несколько новых понятий.

   Числовое множество М назовем ограниченным сверху, если существует такое число р, что для любого х е М справедливо неравенство х < р. Число р называют верхней границей множества М. Числовое множество М назовем ограниченным снизу, если существует такое число т, что для любого х € М справедливо неравенство х ** т. Число т называют нижней границей множества М.

Например, множество всех отрицательных чисел ограничено сверху; в качестве верхней границы может выступать любое положительное число и число 0. Множество всех положительных чисел ограничено снизу; в качестве нижней границы может выступать любое отрицательное число и число 0.

   Сформулируем теперь аксиому непрерывности множества действительных чисел.

XVI. Если числовое множество ограничено сверху, то среди его верхних границ есть наименьшая.

Поясним смысл этой аксиомы. Если бы мы выбросили из множества К какое-нибудь число а, то все множество К распалось бы на две части: множество А, состоящее из чисел, меньших а, и множество Б, состоящее из чисел, больших а. Множество А ограничено сверху, но среди его верхних границ (эти границы образуют множество В) нет наименьшей (этой наименьшей границей должно служить как раз «выкинутое» число а). Таким образом, в «проколотом» множестве К аксиома непрерывности не выполняется. Иными словами, аксиома непрерывности означает, что в множестве К нет «проколов», нет «дыр».

Перечисленные аксиомы, как и аксиомы геометрии, не доказывают. Они являются обобщением многовекового опыта практической деятельности человека. Роль указанных аксиом в алгебре аналогична роли аксиом в геометрии: как в геометрии теоремы выводятся из аксиом геометрии, так и алгебраические утверждения выводятся из аксиом действительных чисел.

В качестве примера покажем, "как из аксиом выводится правило раскрытия скобок при умножении:

(а + 6)(с + Л) = ас + аа + Ъс + Ъа.

Обозначим с + Л через т, тогда (а + Ь)(с + Л) = (а + Ь)т. Согласно аксиоме IX, (а + Ь)т = ат + Ът, а по аксиоме V, ат = та, Ът = тЬ. Значит,

(а + Ь)(с + Л) = та + тЬ = (с + а)а + (с + а)Ь.

Применив к числам (с + а)а и (с + а)Ъ аксиому IX, получим соответственно: са + Ла и сЬ + аЪ или, что то же самое (по аксиоме V), ас + аа и Ъс + Ъа. Итак, (а + Ъ)(с + и) = ас + аи + Ъс + Ъа.

Покажем еще, что если а > Ъ и с — положительное число (с > 0), то ас > Ъс.

Рассмотрим разность ас - Ъс. Имеем: ас - Ъс — (а - Ь)с (по аксиоме IX). По условию с — положительное число и а - Ъ — положительное число. Согласно аксиоме XIII, произведение двух положительных чисел есть положительное число, и, значит, (а - 6)с > 0. Таким образом, ас - Ъс > 0. Но тогда, по аксиоме XIV, (ас - Ъс) + Ъс > 0 + Ъс, т. е. ас > Ъс.

Пусть Аи В — два непустых числовых множества, причем для любого а из А и любого Ъ из В справедливо неравенство а < Ъ. В таком случае будем говорить, что множество А лежит слева от множества В.

Например, множество В_ отрицательных действительных чисел лежит слева от множества К+ положительных действительных чисел. Множество X = (3; 5) находится слева от множества У = [6; 9].

Пусть множество А расположено слева от множества В. Тогда множество А ограничено сверху (любой элемент множества В является верхней границей для А), а значит, по аксиоме непрерывности, для него имеется наименьшая верхняя граница с. Это число с обладает следующим свойством: если а е Аи Ь е В, то а < с < Ъ. Значит, число с лежит как бы между множествами Аи В, разделяет эти множества. Поэтому его называют разделяющим числом.

Итак, мы доказали следующее утверждение.

Если множество А лежит слева от множества В, то существует число, разделяющее эти множества (принцип разделяющего числа).

Так, в рассмотренных выше примерах имеем: множества К_ и К+ разделяются числом О; множества X и V разделяются любым числом, заключенным между 5 и 6. Уже эти примеры показывают, что разделяющее число может быть единственным, но могут существовать и бесконечно много разделяющих чисел. Это зависит от того, насколько близки друг к другу рассматриваемые множества: если в них есть сколь угодно близкие элементы, то разделяющее число единственно. Точнее этот результат формулируется следующим образом.

Критерий единственности разделяющего числа. Если множество А лежит слева от множества В, то для единственности разделяющего числа необходимо и достаточно выполнение следующего условия: для любого заданного положительного числа е («эпсилон» — буква греческого алфавита) найдутся такие аизАиЪизВ, что Ъ - а < е.

Доказательство этого утверждения мы здесь не приводим.