Эти 49 равенств (мы выписали только 13 из них, недостающие 36 равенств вы при желании можете составить сами, например 50 = 7 + 43; 62 = 3 + 59 и т. д.) показывают, что сформулированное общее утверждение (про любое четное число в пределах от 4 до 100) верно, оно было доказано перебором всех возможных частных случаев. Это так называемая полная индукция, когда общее утверждение доказывается для конечного множества элементов рассмотрением каждого элемента множества по отдельности.

Но ведь чаще общее утверждение относится не к конечному, а к бесконечному множеству, когда рассмотреть по отдельности каждый элемент множества невозможно. В таких случаях общее утверждение может быть лишь угаданным, полученным неполной индукцией. Естественно, оно может быть верным, но может быть и неверным. Приведем примеры.

   1) Рассматриваются суммы первых п нечетных натуральных чисел:

1 = I2;   1 + 3 = 4 = 22;   1 + 3 + 5 = 9 = З2; 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42;   1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52.

Выдвинем гипотезу, что всегда сумма первых п нечетных чисел равна п2. Проверим ее для шести и семи слагаемых:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 +11 = 36 = б2;

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49 = 72.

Гипотеза подтвердилась. Но все равно утверждение остается гипотезой, пока оно не доказано. Впрочем, доказать его нетрудно: 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2п - 1) — это сумма « членов арифметической прогрессии; значит,

   2) Рассматриваются суммы кубов первых п натуральных чисел:

I3 = 1 = I2;

1» + 23 = 9 = З2 = (1 + 2)2;

I3 + 23 + З3 = 36 = б2 = (1 + 2 + З)2;

I3 + 23 + З3 + 43 = 100 = 102 = (1 + 2 + 3 + 4)2.

Естественно предположить, что

I3 + 23 + З3 + 43 + ... + п3 = (1 + 2 + 3 + 4 + ... + п)2. Проверим эту гипотезу для пяти и шести слагаемых:

I3 + 23 + З3 + 43 + 53 = 225 = 152 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2; I3 + 23 + З3 + 43 + 53 + б3 = 441 = 212 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + б)2.

Гипотеза подтвердилась. На самом деле сформулированное утверждение верно, мы докажем его позднее.

3) Рассматривается последовательность уп = п2 + п + 17. Выпишем первые семь ее членов:

У1 = 19; у2 = 23; у, = 29; у, = 37; уь = 47; у6 = 59; у7 = 73.

Все полученные числа простые. Возникает предположение: вся последовательность состоит из простых чисел. Проверим это для следующих четырех членов последовательности: уя = 89; уд = 107; у10 = 127; УЦ = 149. Числа 89, 107, 127, 149 — простые, гипотеза подтвердилась. И тем не менее она неверна: есть в последовательности члены, не являющиеся простыми числами, например,

у16 = 162 + 16 + 17 = 16(16 + 1) + 17 = 17(16 + 1) = 17 • 17 — составное число.

Итак, утверждение, полученное неполной индукцией, остается лишь гипотезой, пока оно не доказано точным математическим рассуждением, охватывающим все частные случаи. Иными словами, неполная индукция не считается в математике методом строгого доказательства, она может привести к ошибке. Однако замечательно то, что она иногда приводит к истине. Можно охарактеризовать неполную индукцию как эвристический (от греческого НеипзЪо — «отыскиваю») метод открытия новых истин.

Метод полной индукции имеет в математике ограниченные применения, поскольку охватывает лишь ситуации с конечным числом частных случаев. Чаще всего математическое утверждение охватывает бесконечное множество частных случаев, когда сделать проверку для всех случаев невозможно. Опираться при этом на неполную индукцию опасно, можно сделать неправильный вывод. Во многих случаях выход заключается в обращении к особому методу рассуждений, который называют методом математической индукции. Суть его разъясним на примере.

Рассмотрим арифметическую прогрессию а1г а2, а2, ... , а„, ... . По определению арифметической прогрессии, ап+1 = а„ + а, значит,

аг = аг, а2 = &1 + а,

а3 = а2 + а - (аг + а) + а = ах + 2а,

а4 = а3 + а = (а1 + 2а) + а = а1 + За,

а5 = а4 + а = (ах + Зй) + а = ах + 4й и т. д.

Нетрудно догадаться, что для любого номера п справедливо равенство

ап = а1 + (п - 1)а.                                  

«Нетрудно догадаться», «можно сообразить» и т. д. — это стилистические обороты из области интуиции. Разумеется, математики ими пользуются, но в основном для открытия каких-то новых фактов, а не для их обоснования. Формулу (1) мы «прочувствовали», но не обосновали. Приведем обоснование.

Если п = 1, то ох = а1 + (1 - \)а — верное равенство, т. е. формула (1) для п = 1 верна.

Предположим, что формула (1) верна для натурального числа га = Н, т. е. предположим, что верно равенство аы = а1 + (А - 1)й. Докажем, что тогда формула (1) верна и для следующего натурального числа п = А + 1, т. е. докажем, что аА+1 = аг + Ъа.

В самом деле, по определению арифметической прогрессии, а4 + 1 = аА + Л

А. теперь смотрите: для п = 1 формула (1) верна (это мы проверили). Далее мы доказали, что если формула (1) верна для п = Н, то она верна и для п = А + 1. Но формула (1) верна для п = 1, значит, она верна и для п = 2; так как она верна для п = 2, то она верна и для п = 3 и т. д. Значит, формула (1) верна для любого натурального числа п.

Итак, метод математической индукции состоит в следующем. Пусть нужно доказать справедливость некоторого утверждения А(п) для любого натурального числа п (например, нужно доказать, что сумма первых п нечетных чисел равна га2). Сначала проверяют справедливость утверждения для га = 1 (базис математической индукции). Затем доказывают, что для любого натурального числа А верно следующее утверждение: если справедливо А(А), то справедливо и А(Н + 1) (индукционный шаг). Тогда утверждение А(п) считается доказанным для любого га. В самом деле, утверждение справедливо для га = 1 (это проверялось отдельно). Но если верно А(1), то верно и А(2); поскольку верно А(2), то верно и -А(З); из справедливости А(3) следует, что утверждение верно и для га = 4 и т. д., т. е. утверждение верно для любого п.

Обобщая сказанное, сформулируем следующий общий принцип, который обычно считают одной из аксиом множества натуральных чисел.