6. Теория атома водорода по Бору

6.1.          Определить энергию фотона, испускаемого при переходе электрона в атоме водорода с третьего энергетического уровня на второй. Ответ: 1,89 эВ.

6.2.         Определить максимальную и минимальную энергии фотона в видимой серии спектра водорода (серии Бальмера). Ответ: E_max = 3,41 эВ, E_min = 1,89 эВ.

6.3.         Определить длину волны λ, соответствующую второй спек­тральной линии в серии Пашена. Ответ: 1,28 мкм.

6.4.         Максимальная длина волны спектральной водородной линии серии Лаймана равна 0,12 мкм. Предполагая, что постоянная Ридберга неизвестна, определить максимальную длину волны линии серии Бальмера. Ответ: 0,65 мкм.

6.5.         Определить длину волны спектральной линии, соответствующую переходу электрона в атоме водорода с шестой боровской орбиты на вторую. К какой серии относится эта линия и какая по счету? Ответ: 0,41 мкм.

6.6.         Определить длины волн, соответствующие: 1) границе серии Лаймана; 2) границе серии Бальмера; 3) границе серии Пашена. Проанализировать результаты. Ответ: 1) 91 нм; 2) 364 нм; 3) 820 нм.

6.7.         Атом водорода находится в возбужденном состоянии, характеризуемом главным квантовым числом n = 4. Определить возможные спектральные линии в спектре водорода, появляющиеся при переходе атома из возбужденного состояния в основное. Ответ: 1,21^.10^-7 м; 1,02^.10^-7 м; 0,97^.10^-7 м; 6,54^.10^-7 м; 4,85^.10^-7 м; 18,7^.10^-7 м.

6.8.         В инфракрасной области спектра излучения водорода обнаружено четыре серии – Пашена, Брэкета, Пфунда и Хэмфри. Записать сериальные формулы для них и определить самую длинноволновую линию: 1) в серии Пашена; 2) в серии Хэмфри. Ответ: 1) 1,87 мкм, 2) 12,3 мкм.

6.9.         Определить число спектральных линий, испускаемых атомар­ным водородом, возбужденным на n-й энергетический уровень. Ответ: N=n(n–1)/2.

6.10.    На дифракционную решетку с периодом d нормально падает пучок света от разрядной трубки, наполненной атомарным водо­родом. Оказалось, что в спектре дифракционный максимум k-гo порядка, наблюдаемый под углом φ, соответствовал одной из линий серии Лаймана. Определить главное квантовое число, соответствующее энергетическому уровню, с которого произошел переход. Ответ: n = (1 – ck/(R^.d^.sinφ))^-1/2.

6.11.    Используя теорию Бора для атома водорода, определить: 1) радиус ближайшей к ядру орбиты (первый боровский радиус); 2) скорость движения электрона по этой орбите. Ответ: 1) 52,8 пм; 2) 2,19 Мм/с.

6.12.    Определить, на сколько изменилась кинетическая энергия электрона в атоме водорода при излучении атомом фотона с длиной волны λ = 4,86^.10^-7 м. Ответ: На 2,56 эВ.

6.13.    Определить длину волны λ спектральной линии, излучаемой при переходе электрона с более высокого уровня энергии на более низкий уровень, если при этом энергия атома уменьшилась на ΔE = 10 эВ.

Ответ: 124 нм.

6.14.    Используя теорию Бора, определить орбитальный магнитный момент электрона, движущегося по третьей орбите атома водорода.

Ответ: р_m=enħ/(2m) = 2,8^.10^-23 А^.м².

6.15.    Определить изменение орбитального механического момента электрона при переходе его из возбужденного состояния в основное с испусканием фотона с длиной волны λ = 1,02^.10^-7м. Ответ: ΔL = 2ħ = 2,1^.10^-34 Дж^.с.

6.16.    Позитроний – атомоподобная система, состоящая из позитрона и электрона, вращающегося относительно общего центра масс. Применяя теорию Бора, определить минимальные размеры подобной системы.

Ответ: d_min = 2ε₀h²/(πme²) = 106 пм.

6.17.    Предполагая, что в опыте Франка и Герца вакуумная трубка наполнена не парами ртути, а разреженным атомарным водородом, определить, через какие интервалы ускоряющего потенциала φ возникнут максимумы на графике зависимости силы анодного тока от ускоряющего потенциала. Ответ: 10,2 В.

6.18.    Используя постоянную Планка h, электрическую постоянную ε₀, массу m и заряд е электрона, составить формулу для величины, характеризующей атом водорода по Бору и имеющей размерность длины. Указать, что это за величина.

6.19.    Определить скорость υ электрона по третьей орбите атома водорода. Ответ: υ = e² / (4π^.ε₀^.n^.ħ) =0,731 Мм/с.

6.20.    Электрон находится на первой боровской орбите атома водорода. Определить для электрона: 1) потенциальную энергию Е_P; 2) кинетическую энергию Е_K; 3) полную энергию Е. Ответ: 1) -27,2 эВ; 2) 13,6 эВ; 3) -13,6 эВ.

6.21.    Определить частоту f вращения электрона по третьей орбите атома водорода, Ответ: f = mе⁴ / (4n^3.ε₀^2.h³) = 2,42^.10¹⁴ Гц.

6.22.    Определить: 1) частоту f вращения электрона, находящегося на первой боровской орбите; 2) эквивалентный ток. Ответ: 1) 6,58^.10¹⁵ Гц; 2) 1,06 мА.

6.23.    Определить частоту света, излучаемого атомом водорода, при переходе электрона на уровень с главным квантовым числом n = 2, если радиус орбиты электрона изменился в k = 9 раз. Ответ: 0,73^.10¹⁵ Гц.

6.24.    Пользуясь теорией Бора, найти числовое значение постоянной Ридберга. Ответ: R = m^.е⁴ / (8ε₀^2.h³) = 3,27^.10¹⁴ с^-1.

6.25.    Определить потенциал ионизации атома водорода Ответ: 13,6 В.

6.26.    Основываясь на том, что энергия ионизации атома водорода Е_i = 13,6 эВ, определить первый потенциал возбуждения φ этого атома. Ответ: 10,2 В.

6.27.    Определить первый потенциал возбуждения атома водорода. Ответ: φ₁ = 3R^.h / (4e) = 10,2 В.

6.28.    Основываясь на том, что энергия ионизации атома водорода Е_i = 13,6 эВ, определить в электрон-вольтах энергию фотона, соответствующую самой длинноволновой линии серии Бальмера. Ответ: 1,89 эВ.

6.29.    Основываясь на том, что первый потенциал возбуждения атома водорода φ₁ = 10,2 В, определить в электронвольтах энергию фотона, соответствующую второй линии серии Бальмера. Ответ: 2,55 эВ.

6.30.    Определить работу, которую необходимо совершить, чтобы удалить электрон со второй боровской орбиты атома водорода за пределы притяжения его ядром. Ответ: 5,45^.10^-19 Дж.

6.31.    Электрон выбит из атома водорода, находящегося в основном состоянии, фотоном энергии ε = 17,7 эВ. Определить скорость электрона за пределами атома. Ответ: 1,2 Мм/с.

6.32.     Фотон с энергией E = 12,12 эВ, поглощенный атомом водорода, находящимся в основном состоянии, переводит атом в возбужден­ное состояние. Определить главное квантовое число этого состоя­ния. Ответ: 3.

6.33.    Определить, какие спектральные линии появятся в видимой области спектра излучения атомарного водорода под действием ультрафиолетового излучения с длиной волны λ = 0,1 мкм. Ответ: 4,34^.10^-7 м; 4,86^.10^-7 м; 6,56^.10^-7 м.

6.34.     В излучении звезды обнаружен водородоподобный спектр, длины волн которого в 9 раз меньше, чем у атомарного водорода. Определить элемент, которому принадлежит данный спектр. Ответ: Z = 3, литий.

6.35.    Применяя теорию Бора к мезоатому водорода (в мезоатоме водорода электрон заменен мюоном, заряд которого равен заряду электрона, а масса в 207 раз больше массы электрона), определить: 1) радиус первой орбиты мезоатома; 2) энергию ионизации мезоатома. Ответ:1) 0,254 пм; 2) 2,81 кэВ.

6.36.    Определить, какая энергия требуется для полного отрыва электрона от ядра однократно ионизованного атома гелия, если: 1) электрон находится в основном состоянии; 2) электрон находится в состоянии, соответствующем главному квантовому числу n = 3. Ответ: 1) 54,4 эВ; 2) 6,04 эВ.

7. Элементы квантовой механики

7.1.          Определить импульс и энергию: 1) рентгеновского фотона; 2) электрона, если длина волны того и другого равна 10^-10м. Ответ: 1) р=6,63^.10^-24 кг^.м/с, E=12,4 кэВ; 2) р = 6,63·10^-24 кг.м/с, Е = 151 эВ.

7.2.         Определить длину волны де Бройля для электрона, находящегося в атоме водорода на третьей боровской орбите. Ответ: 1 нм.

7.3.         Определить длину волны де Бройля для нейтрона, движущегося со средней квадратичной скоростью при Т = 290 К. Ответ: 148 пм.

7.4.         Протон движется в однородном магнитном поле с индукцией B = 15 мТл по окружности радиусом R = 1,4 м. Определить длину волны де Бройля для протона. Ответ: 0,197 пм.

7.5.         Определить, какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти протон, чтобы длина волны де Бройля λ для него была равна 1 нм.

Ответ: 0,821 мВ.

7.6.         Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов U = 500 В, имеет длину волны де Бройля λ = 1,282 нм. Принимая заряд этой частицы равным заряду электрона, определить ее массу. Ответ: 1.672^.10^-27 кг.

7.7.         Кинетическая энергия электрона равна 1 кэВ. Определить длину волны де Бройля. Ответ: 38,8 пм.

7.8.         Кинетическая энергия электрона равна 0,6 МэВ. Определить длину волны де Бройля. Ответ: 1,26 пм.

7.9.         Определить, при каком числовом значении скорости длина волны де Бройля для электрона равна его комптоновской длине волны. Ответ: υ = 2,12·10⁸ м/с.

7.10.    Вывести связь между длиной круговой электронной орбиты и длиной волны де Бройля.

7.11.    Определить, как изменится длина волны де Бройля электрона атома водорода при переходе его с четвертой боровской орбиты на вторую. Ответ: Уменьшится в 2 раза.

7.12.    В опыте Дэвиссона и Джермера, обнаруживших дифракционную картину при отражении пучка электронов от естественной дифракционной решетки – монокристалла никеля, оказалось, что в направлении, составляющем угол α = 55° с направлением падающих электронов, наблюдается максимум отражения четвертого порядка при кинетической энергии электронов Т = 180 эВ. Определить расстояние между кристаллографическими плоскостями никеля.

Ответ: d = h^.k / (2cos(α/2)) = 0,206 нм, k – порядок максимума.

7.13.    Моноэнергетический пучок нейтронов, получаемый в результате ядерной реакции, падает на кристалл с периодом d = 0,15 мм. Определить скорость нейтронов, если брэгговское отражение первого порядка наблюдается, когда угол скольжения Θ = 30°. Ответ: 2,64 км/с.

7.14.    Параллельный пучок моноэнергетических электронов направ­лен нормально на узкую щель шириной а = 1 мкм. Определить скорость этих электронов, если на экране, отстоящем на расстоянии l = 20 см от щели, ширина центрального дифракционного максимума составляет Δx = 48 мкм. Ответ: υ = 2hl / (am^.Δx) = 606 км/с.

7.15.    Параллельный пучок электронов, ускоренный разностью потенциалов U = 50 В, направлен нормально на две параллельные, лежащие в одной плоскости, щели, расстояние d между которыми равно 10 мкм. Определить расстояние между центральным и первым максимумами дифракционной картины на экране, который расположен от щелей на расстоянии l = 0,6 м. Ответ: Δx = 2hl / (d) = 10,4 мкм.

7.16.    Объяснить, почему представление о боровских орбитах несовместимо с принципом неопределенности.

7.17.    Ширина следа электрона (обладающего кинетической энергией Т = 1,5 кэВ) на фотопластинке, полученного с помощью камеры Вильсона, составляет Δx = 1 мкм. Определить, можно ли по данному следу обнаружить отклонение в движении электрона от законов классической механики. Ответ: Δp_x/p_x = 10^-4, нет.

7.18.    Электронный пучок ускоряется в электронно-лучевой трубке разностью потенциалов U = 1 кВ. Известно, что неопределенность скорости составляет 0,1 % от ее числового значения. Определить неопределенность координаты электрона. Являются ли электроны в данных условиях квантовыми или классическими частицами? Ответ: Δx = 38,8 нм.

7.19.    Определить отношение неопределенностей скорости электрона, если его координата установлена с точностью до 10^-5 м, и пылинки массой m = 10^-12 кг, если ее координата установлена с такой же точностью.

Ответ: 1,1·10¹⁸.

7.20.    Электронный пучок выходит из электронной пушки под дейст­вием разности потенциалов U = 200 В. Определить, можно ли од­новременно измерить траекторию электрона с точностью до 100 нм (с точностью порядка диаметра атома) и его скорость с точностью до 10 %.

Ответ: m^.Δυ^.Δx < h; нет.

7.21.    Электрон движется в атоме водорода по первой боровской орбите. Принимая, что допускаемая неопределенность скорости со­ставляет 10 % от ее числового значения, определить неопределен­ность координаты электрона. Применимо ли в данном случае для электрона понятие траектории? Ответ: Δx = 3,34 нм, нет.

7.22.    Применяя соотношение неопределенностей, показать, что для движущейся частицы, неопределенность координаты которой равна длине волны де Бройля, неопределенность скорости равна по порядку величины самой скорости частицы.

7.23.    Используя соотношение неопределенностей в форме Δp_x^.Δx ≥ ħ, оценить минимально возможную полную энергию электрона в атоме водорода. Принять неопределенность координаты равной радиусу атома. Сравнить полученный результат с теорией Бора.

Ответ: E_max = –me⁴ / (8h^2.ε₀²) = -13,6 эВ.

7.24.    Объяснить физический смысл соотношения неопределенности для энергии E и времени t: ΔE^.Δt ≥ h.

7.25.    Воспользовавшись соотношением неопределенностей, оценить размытость энергетического уровня в атоме водорода: 1) для основного состояния; 2) для возбужденного состояния (время его жизни равно 10^-8с). Ответ: 1) 0; 2) 414 нэВ.

7.26.    Длина волны λ излучаемого атомом фотона составляет 0,6 мкм. Принимая время жизни возбужденного состояния Δt = 10^-8 c, определить отношение естественной ширины энергетического уровня, на который был возбужден электрон, к энергии, излученной атомом. Ответ: ΔЕ/Е = λ / (c^.Δt) = 2^.10^-7.

7.27.    Принимая, что электрон находится внутри атома диаметром 0,3 нм, определить (в электрон-вольтах) неопределенность энергии этого электрона. Ответ: ΔЕ = h² / 2m^. (Δx)² = 16,7 эВ.

7.28.    Объяснить, почему физический смысл имеет не сама ψ-функция, а квадрат ее модуля |ψ|².

7.29.    Объяснить, почему волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной.

7.30.    Записать выражение для вероятности W обнаружения частицы в конечном объеме V, если известна координатная пси-функция частицы ψ(x,y,z).

7.31.    Известно, что свободная квантовая частица описывается плоской монохроматической волной де Бройля. Плотность вероятности (вероятность, отнесенная к единице объема) обнаружения свободной частицы |ψ|² = ψψ* = |А|² = const. Объяснить, что означает постоянство этой величины.

7.32.    Записать уравнение Шредингера для стационарных состояний для свободной частицы, движущейся вдоль оси х, а также определить посредством его решения собственные значения энергии. Что можно сказать об энергетическом спектре свободной частицы? Ответ: E = ħ^2.k² / (2m).

7.33.    Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» шириной l с бесконечно высокими «стенками» находится в основном состоянии. Определить вероятность обнаружения частицы в левой трети «ямы».

Ответ: 0,195.

7.34.    Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» шириной l с бесконечно высокими «стенками» находится в возбужденном состоянии (n = 2). Определить вероятность обнаружения частицы в области ³/₈ l ≤ х ≤ ⁵/₈ l . Ответ: 0,091.

7.35.    Электрон находится в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» шириной l с бесконечно высокими «стенками». Определить вероятность W обнаружения электрона в средней трети «ямы», если электрон находится в возбужденном состоянии (n = 3). Пояснить физический смысл полученного результата, изобразив графически плотность вероятности обнаружения электрона в данном состоянии. Ответ: 1/3.

7.36.    Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» шириной l с бесконечно высокими «стенками» находится в возбужденном состоянии (n = 3). Определить, в каких точках «ямы» (0 ≤ х ≤ 1) плотность вероятности обнаружения частицы: 1) максимальна; 2) минимальна. Пояснить полученный результат графически. Ответ: 1) ^l/₆, ^l/₂, 5^l/₆; 2) ^l/₃, 2^l/₃.

7.37.    Определить, при какой ширине одномерной прямоугольной «потенциальной ямы» с бесконечно высокими «стенками» дискретность энергетического спектра электрона сравнима с его средней кинетической энергией при температуре Т. Ответ: l = ħ^.π /.

7.38.    Доказать, что энергия свободных электронов в металле не квантуется. Принять, что ширина l прямоугольной «потенциальной ямы» с бесконечно высокими «стенками» для электрона в металле составляет 10 см. Ответ: ΔE≈ 0,75n^.10^-16 эВ.

7.39.    Частица находится в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками». Определить, во сколько раз изменяется отношение разности соседних энергетических уровней частицы:  при переходе от n = 3 к n' = 8. Объяснить физическую сущность полученного результата. Ответ: Уменьшается в 3 раза.

7.40.    Частица с энергией E движется в положительном направлении оси x и встречает на своем пути прямоугольный потенциальный барьер высотой U и конечной шириной l, причем E < U. Записать уравнение Шредингера для областей 1, 2 и 3.

7.41.    Электрон с энергией Е = 4 эВ движется в положительном направлении оси х, встречая на своем пути прямоугольный потенциальный барьер высотой U = 10 эВ и шириной l = 0,1 нм. Определить коэффициент D прозрачности потенциального барьера. Ответ: 0,1.

7.42.    Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину l = 0,1 нм. Определить в электрон-вольтах разность энергий (U – E), при которой вероятность прохождения электрона сквозь барьер составит 0,5. Ответ: 0,454 эВ.

7.43.    Протон с энергией Е = 5 эВ движется в положительном направлении оси х, встречая на своем пути прямоугольный потенциальный барьер высотой U = 10 эВ и шириной l = 0,1 нм. Определить: 1) вероятность прохождения протоном этого барьера; 2) во сколько раз надо сузить барьер, чтобы вероятность прохождения его протоном была такой же, как для электрона при вышеприведенных условиях. Ответ: 1) 1,67^.10^-43; 2) в 42,9 раза.

7.44.    Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину l = 0,1 нм. Разность между высотой потенциального барьера и энергией движущегося в положительном направлении оси х электрона U – E = 5 эВ. Определить, во сколько раз изменится коэффициент D прозрачности потенциального барьера для электрона, если разность U – E возрастет в 4 раза. Ответ: Уменьшится в 10 раз.

7.45.    Электрон с длиной волны де Бройля λ₁ = 100 нм, двигаясь в положительном направлении оси х, встречает на своем пути бесконечно широкий прямоугольный барьер высотой U = 100 эВ. Определить длину волны де Бройля после прохождения барьера. Ответ: λ₂ = λ₁ /= 172 пм.

7.46.    Частица с энергией Е = 50 эВ, двигаясь в положительном направлении оси х, встречает на своем пути бесконечно широкий прямоугольный потенциальный барьер высотой U = 20 эВ. Определить вероятность отражения электрона от этого барьера. Ответ: W = 0,016.

7.47.    Частица массой m = 10^-19 кг, двигаясь в положительном направлении оси х со скоростью υ = 20 м/с, встречает на своем пути бесконечно широкий прямоугольный потенциальный барьер высотой U = 100 эВ. Определить коэффициент отражения R волн де Бройля на границе потенциального барьера. Ответ: R = 0,146.

7.48.    Электрон с длиной волны λ де Бройля, равной 120 пм, движется в положительном направлении оси x и встречает на своем пути бесконечно широкий прямоугольный потенциальный барьер высотой U = 200 эВ. Определить коэффициент отражения R волн де Бройля на границе потенциального барьера. Ответ: R = l.

7.49.    Объяснить физический смысл существования энергии нулевых колебаний для квантового гармонического осциллятора. Зависит ли наличие нулевых колебаний от формы «потенциальной ямы»?

7.50.    Математический маятник можно рассматривать в качестве гармонического осциллятора. Определить в электрон-вольтах энергию нулевых колебаний для маятника длиной l = 1 м, находящегося в поле тяготения Земли. Ответ: 1,03^.10^-15 эВ.

7.51.    Рассматривая математический маятник массой m = 100 г и длиной l = 0,5м в виде гармонического осциллятора, определить классическую амплитуду А маятника, соответствующую энергии нулевых колебаний этого маятника. Ответ: А == 1,54^.10^-17 м.

 Теория атома водорода по Бору